Babilonia y la raíz de dos

Es bien sabido que, en la cultura griega, la raíz de dos causó gran desasosiego en la escuela pitagórica por su naturaleza irracional; sin embargo, al parecer los babilonios no encontraron impedimento práctico para calcularla. Testimonio de esto se halla en una de las colecciones arqueológicas más importantes de la cultura babilónica, la cual se encuentra en la Universidad de Yale, en New Haven, Connecticut. Se trata de una tablilla que muestra cómo los babilonios podían calcular raíces cuadradas con gran precisión


Las tablillas generalmente encontradas revelan que los babilonios manejaban los siguientes conceptos matemáticos:

• Ecuaciones con una incógnita.
• Sistemas de ecuaciones con dos incognitas y tablas de aproximaciones.
• Volúmenes y superficies.
• Cálculo de la superficie de un triánguo y de su trapezoide.
• La aproximación de $\pi\approx 3$ se usaba para el area del círculo: $3r^2$.
• El volumen de prismas y cilindros, multiplicando el area de la superficie de la base por su altura.
• El teorema de Pitágoras
• Aspectos de la teoría numérica, por ejemplo: $$1+2+4+...+2^9=2^9+(2^9-1)$$

Uno de los factores que pudo haber favorecido este avance por parte de civilización es el uso de un sistema de numeración superior. Se ha visto en la entrada anterior que el sistema sexagesimal posee grandes ventajas a la hora de expresar números de manera exacta, o incluso, usando menos cifras para aproximar.

Ahora bien, volviendo al foco de la entrada, la siguiente imagen corresponde a la tablilla YBC 7289 de la colección babilónica de Yale.

Fig. 1: YBC 7289

Esta es una de las tabletas sobre matemática de la antigua Babilonia más conocidas. La misma, al igual que la mayoría de las tabletas encontradas, esta hecha de arcilla. En la misma se ve grabado lo que parece ser un cuadrado y sus dos diagonales. Tanto arriba como en el centro de la figura pueden verse marcas erosionadas por el paso del tiempo.

Fig. 2

 Pero, si miramos con más cuidado, podemos notar que estas marcas corresponden a los símbolos utilizados por los babilónicos para denotar sus números! Bingo!

Fig. 3

A partir de ahora vamos a ponernos en la piel de un investigador. Tenemos la tabla de la figura 3. Uno de los primeros pasos a seguir debería ser traducir (cuando digo "traducir" pretendo alejarme de la palabra "interpretar"). Comencemos con el símbolo superior que corresponde al siguiente

Si buscamos nuestra  tabla de traducción podemos identificar a este número como 30. En el cúmulo central se pueden identificar dos cadenas de números, una superior y otra inferior. Para la cadena superior

se puede identificar que el número en cuestión es (1, 24, 51, 10), que se corresponde con el número $$1\cdot 60^3+24\cdot 60^2+51\cdot 60^1+10\cdot 60^0=305.470$$ Por otro lado, para la cadena superior

se tiene que el número es (42, 25, 35) por lo que al hacer la conversión en base 10 se tiene $$42\cdot 60^2+25\cdot 60^1+ 35\cdot 60^0=152.735$$ Asi, la tabla traducida podría tener la siguiente forma

Solo si lo sospechamos en un comienzo y lo corroboramos después, podemos notar que el tercer numero es exactamente la mitad del segundo. Pero, ¿donde se ve esta relación en la tabla? Pues por el momento podría no estar asociado a la figura, sino al número, particularmente al 30. En la entrada sobre el sistema de numeración de los babilonios mencioné que no tenían un símbolo denotar las fracciones, sino que el considerar al número como racional o entero dependía del mero contexto. Pues bien, que pasaría si el primer numero no es (30), sino (0; 30)? Pasaría que el asunto empezaría a tener sentido, por el simple hecho de que (0; 30)$=\frac{1}{2}$, así que el producto de los primeros dos números da por resultado el tercero. Pues bien, ¿solo eso? Vamos a asumir que no. Es una relación simple, pero carece de atractivo.

Planteemos que esa figura es un cuadrado, y que su lado mide 30. No parece que alguno de esos valores corresponda a la diagonal del mismo, así que nuestra primer pregunta ahora sería: ¿cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado 3? La respuesta es $$d=\sqrt{2\cdot 30^2}\approx 42.42640$$ Ahora el asunto se torna interesante. Anteriormente identificamos el numero (42, 25, 35) que, visto y considerando el asunto de las fracciones, podría ser (42; 25, 35). Al calcular este valor nos encontramos con que $$42\cdot 60^0+25\cdot 60^{-1}+35\cdot 60^{-2}=42.42638$$ Listo, tenemos al toro por las astas, pero aún nos queda develar que es el segundo número. Algo que nos podría surgir también es que no se trate de un número entero, sino que se ha dado por el contexto, también era un numero fraccionario. Pues bien, si dividimos el tercer número por el segundo se debería obtener $\sqrt{2}\approx 1.414213$, pues cada número es diagonal y lado de un cuadrado respectivamente. Ahora bien, dado que es "uno coma algo" nos podríamos preguntar ¿qué pasa si, entonces, (1, 24, 51, 10) es en realidad (1; 24, 51, 10)? Pues este número en base 10 no es otro que $$1\cdot 60^0+24\cdot 60^{-1}+51\cdot 60^{-2}+10\cdot 60^{-3}=1.4142129$$ Listo, misterio resuelto. Así, podemos ver que la tableta babilonia ilustra una aproximación asombrosamente precisa de $\sqrt{2}$. Resulta igualmente sorprendente saber que el sistema numérico se presta a este tipo de precisión. Pues bien, ¿qué hacían los babilonios con aproximaciones tan precisas de $\sqrt{2}$? Pues para llegar a este, los babilonios posiblemente utilizaron un método repetitivo de aproximación frecuentemente empleado por los griegos. Es posible que hayan tenido este número en otras tablas y que lo tomaran para calcular diagonales, pues si $l$ es el lado de un cuadrado, entonces $l\sqrt{2}$ sera su diagonal.