Babilonia y el sistema sexagesimal

Con frecuencia pensamos en los matemáticos de la antiguedad como eso... como antiguos y remotos. Sin embargo, si miramos atrás nos sorprenderemos al descubrir que estamos usando una idea, valor o concepto similar al que usaban las personas hace miles de años. Lo que se sabe de la matématica de los babilonios procede fundamentalmente de unas pocas tablas de arcilla con textos cuneiformes, producto de excavaciones arqueológicas, y parecen datar de entre el año 3000 y el 200 AEC.

Este post surge bajo la necesidad de un soporte para otras futuras, en las que abordaré ciertas tablillas con sus respectivas interpretaciones. Particularmente, ya hay dos entradas, pendientes de corrección, de dos de estas tablas:

• La Plimpton 322 y
•  la YBC 7289.

Los babilonios eran excelentes astrónomos; de sus registros de las posiciones de los planetas observables a simple vista, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno, elaboraron el horóscopo, dando nombre a las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas en treinta partes iguales; es decir, dividieron en 360 partes al círculo zodiacal.

Fig. 1: Tablilla y cuña

Heredaron y asimilaron en gran medida la cultura de sus antecesores, los sumerios y los acadios. Precisamente de los primeros adoptaron la escritura cuneiforme, por medio de la cual plasmaron una gran variedad de información sobre numerosas tablillas. De tan valioso legado, aproximadamente trescientas se relacionan con matemáticas y doscientas tienen grabadas tablas de multiplicar, de dividir, de cuadrados, de cubos, de recíprocos y de interés compuesto.

Fig. 2: Sistema de numeración babilónico

Los sumerios y los acadios manejaban sistemas de numeración con base 60, sin embargo su sistema no era posicional. Los babilonios tomaron estas ideas y, hacia el año 2000 AEC, construyeron un sistema posicional sexagesimal, en el cual representaban fracciones con denominador 60 y sus equivalentes. En la actualidad, todavía se utiliza el sistema sexagesimal, sin embargo el sistema posicional base 10 ha sido adoptado casi universalmente.

En geometría, los babilonios conocían las propiedades de los triángulos semejantes y podían calcular la dimensión de la diagonal de un rectángulo, lo cual implica que los habitantes de la antigua Mesopotamia sabían calcular ternas pitagóricas y raíces cuadradas. De hecho, la tablilla conocida como Plimpton 322 (de la cual se hablará en una futura entrada), escrita hacia el año 1800 AEC, contiene la primera relación de ternas pitagóricas de la que se tiene conocimiento. Se podría decir que las matemáticas babilónicas sentaron la base del florecimiento matemático griego, ocurrido alrededor del si­glo VII AEC.

Pero, ¿Por qué esta base? La conveniencia de la base 60 resulta evidente cuando notamos que 60 tiene muchos divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60), con lo que se facilita el cálculo con fracciones. Además, notemos que 60 es el menor numero divisible por 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Para expresar los números en el sistema sexagesimal, se sigue un convenio que consiste en emplear los números del sistema decimal (de 0 a 59), separados de dos en dos por comas. Para indicar la coma decimal, se emplearía un punto y coma sexagesimal. Así, por ejemplo, el siguiente número

se representa por (15, 42) y corresponde, en base 10, a $$15\cdot 60^1+42\cdot 60^0=942$$ o el número

se representa por (30, 12) y no es otro que $$30\cdot 60^1+12\cdot 60^0=1812$$ Puesto que no tenían adoptado un símbolo para el cero, solucionaban esto dejando un espacio entre los números. Así, si se deseaba escribir el numero 108012, que en base 60 es (30, 0, 12) tenían que hacerlo de la siguiente manera

Evidentemente, esto no resultará nada conveniente cuando sea necesario apreciar, por ejemplo, si un número es (30, 0, 0, 0, 0, 12) o (30, 0, 0, 0, 0, 0, 12). De igual manera, no tenían una notación para los números decimales, por lo que los enteros y las fracciones eran representados de la misma forma: el punto separador de enteros y fracciones no era escrito, sino que quedaba aclarado por el contexto. De esta manera, por ejemplo, el número

puede representar tanto (3, 8, 29, 44), siendo $$3\cdot 60^3+8\cdot 60^2+29\cdot 60^1+44\cdot 60^0=678584$$ como (3; 8, 29, 44), siendo $$3\cdot 60^0+8\cdot 60^{-1}+29\cdot 60^{-2}+44\cdot 60^{-3}=3.14159259259$$ que resulta ser una muy buena aproximación para $\pi$. De igual manera, el número

que tiene solo un cifra en sexagesimal, traducido puede representar tanto (20), y, luego de hacer unas matemáticas no tan complejas, podemos deducir que, o es 20 en base 10, o (0; 20), que representa $0.\overline{3}$, el cual tiene infinitos dígitos. Un momento, ¿Es este último resultado una muestra de que los números con infinitas cifras en base 10, como $e$ o $\pi$, tienen expresión exacta en base 60!? Pues lamento decirles que van a tener que guardar sus ansias de festejo para otro momento, porque este no es el adecuado. ESTO NO OCURRE SIEMPRE. En particular, solo los recíprocos de los números enteros regulares tienen sexagesimales finitos. Para el caso de la base sexagesimal, como los divisores primos de 60 son 2, 3 y 5, se define como regular a cualquier número de la forma $2^{n_1}\cdot 3^{n_2}\cdot 5^{n_3}$, con $n_1$, $n_2$ y $n_3$ enteros no negativos.

Retomando con las conversiones, si se desea pasar de un número en base 10 a base 60 se debe proceder de la siguiente manera:
Supongamos que queremos reescribir 24783. Comenzamos calculando $\log_{60}{24783}\approx 2.47$. Esto nos dice que 24783 es un número que satisface $$60^2\leq 24783<60^3$$ Entonces, tienen que existir $a_2 \neq 0$, $a_1$ y $a_0$ en $\{0,1,...,59\}=\mathbb{N}_{59}$ tales que $$a_2\cdot 60^2+a_1\cdot 60^1+a_0 \cdot 60^0=24783\; (1)$$ Para hallar $a_2$ calculamos $\mathrm{max}\{x:x60^2\leq 24783, x\in\mathbb{N}_{59}\}$. La demostración del porqué de esto será anexada al final de la entrada para no perder el foco de lo que se quiere. A grandes rasgos, si $a_2$ es mayor, entonces todos los números que se puedan formar con $(1)$ serán mayores que 24783, y si $a_2$ es menor entonces el numero sera demasiado mas chico, y los coeficientes $a_1$ y $a_0$ no podrán aportar lo necesario en $(1)$ para llegar a la igualdad. Ahora bien, hallar el mayor entero que satisface $x60^2\leq 24783$ es lo mismo que hallar el que satisface $x\leq\frac{24783}{60^2}\approx 6.88$. Así, $a_2=6$.

Ahora bien, para hallar $a_1$ debemos pasar de $$6\cdot 60^2+a_1\cdot 60^1+a_0\cdot 60^0=24783$$ a una expresión equivalente de la forma $$a_1\cdot 60^1+a_0\cdot 60^0=24783-6\cdot 60^2=3183$$ y proceder de la misma manera. Así, $a_1=\mathrm{max}\{x:x\leq \frac{3183}{60}=53.05, x\in\mathbb{N}_{59}\}=53$. Por último, para hallar $a_0$, pasamos de $$53\cdot 60^1+a_0\cdot 60^0=3183$$ a $$a_0=a_0\cdot 60^0=3183-53\cdot 60^1=3$$ Asi, 24783 es equivalente a (6, 53, 3) y se representa por

Durante el Califato Omeya, el sistema sexagesimal fue empleado por los árabes tanto para contar el tiempo como para la geometría y trigonometría que había evolucionado de los ancestros babilónicos, pasando por el viejo Egipto y muchas otras culturas. Fueron precisamente los árabes quienes asentaron el uso del sistema sexagesimal en la cultura moderna, ya que durante casi 500 años ostentaron todo el potencial científico sin discusión. Al igual que en su momento los babilonios trazaron las primeras líneas para que los árabes utilizaran su sistema años después, estos cimentaron el uso del sistema sexagesimal tal y como lo conocemos hoy día. Y por muy curiosos que resulte todavía sigue funcionando a la perfección.

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Anexo

Veamos ahora que la elección de $a_1$ como máximo del conjunto $\{x:x\cdot 60^2\leq 24783, x\in\mathbb{N}_{59}\}$ está justificada. Para probar esto lo haremos por reducción al absurdo, suponiendo que, al ser $k=6$ como se vió en transcurso de la entrada (para una demostración general del resultado, dejo este archivo), tanto afirmar que $a_2 > 6$ como que $a_2 < 6$ nos lleva a contradicciones.

En efecto

• Si $6 < a_2$ entonces $a_2\cdot60^2>24783$ (pues, por definición, 6 es el mayor entero que cumple $k\cdot 60^2 \leq 24783$), o, lo que es lo mismo, $24783-k'\cdot 60^2<0$. Entonces, se tiene en $(1)$ que $$a_2\cdot 60^2+a_1\cdot 60^1+a_0 \cdot 60^0=24783$$ $$a_1\cdot 60^1+a_0 \cdot 60^0=24783-a_2\cdot 60^2 < 0$$ lo cual resulta absurdo, pues los términos de la izquierda son no negativos. Luego, $a_2\leq 6$
• Por otro lado, si $a_2 < 6 = \mathrm{max}\{x:x\cdot 60^2\leq 24783, x\in\mathbb{N}_{59}\}$ entonces existe algún entero positivo $n$ tal que $a_2+n=6$. Entonces cómo se cumple $$a_2\cdot 60^2+a_1\cdot 60^1+a_0\cdot 60^0=24783$$ se debe satisfacer también que $$(6-n)\cdot 60^2+a_1\cdot 60^1+a_0\cdot 60^0=24783$$ De esto último, se tiene que $$6\cdot 60^2-n\cdot 60^2+a_1\cdot 60^1+a_0\cdot 60^0=24783$$ $$a_1\cdot 60^1+a_0\cdot 60^0=24783-6\cdot 60^2+n\cdot 60^2$$ $$a_1\cdot 60^1+a_0\cdot 60^0=3183+n\cdot 60^2>n\cdot 60^2$$ Ahora bien, como se dijo antes, tanto $a_1$ como $a_0$ están acotados superiormente por 59, y como $n$ es un entero positivo, está acotado inferiormente por $1$. De todo esto se deduce que $$59\cdot 60^1+59\cdot 60^0 \geq a_1\cdot 60^1+a_0\cdot 60^0 >n\cdot 60^2\geq 3600$$ $$3599 > 3600$$ lo cual es absurdo. Este último proviene de suponer que $a_2 < 6$. Así, debe cumplirse entonces que $a_2\geq 6$

Como $a_1\leq 6$ y $a_1\geq 6$, se concluye que $a_1=6$.